Лес дробной размерности
Физик нашел красивое объяснение правила Леонардо
читать
В издании записных книжек Леонардо да Винчи, выпущенных в 1970 году Жан-Полем Рихтером, можно найти запись следующего содержания: "Толщина всех веток дерева на любой его высоте, сложенная вместе, дает толщину ствола". Это и есть то самое "правило Леонардо", о котором пойдет ниже речь. Несмотря на то, что легендарный художник и ученый сформулировал этот элегантный природный закон около 400 лет назад, до последнего времени он оставался без достойного (то есть столь же элегантного) объяснения.
Симметрии в природе
Природные закономерности, как, скажем, логарифмическая спираль, золотое сечение или числа Фибоначчи, всегда вызывали интерес у ученых - еще бы, ведь природа сама подкидывает объекты для изучения. Правило Леонардо в этом смысле не исключение - в 1964 и 1976 годах (мы говорим только о современных трудах, почему - станет понятно ниже) вышли работы, в которых были предложены две не самые сильные гипотезы, объясняющие обнаруженное Леонардо соотношение. Но на этом дело, по сути, застопорилось.
Прежде чем перейти к изложению обоих объяснений, сформулируем правило Леонардо на более строгом языке. А именно, предположив, что сечение каждой ветки представляет собой круг, правило можно сформулировать следующим образом: сумма квадратов диаметров веток на данной высоте h не зависит от этой высоты. Как следствие, эта сумма равняется квадрату диаметра ствола у основания. Те немногие практические данные, которые есть по правилу Леонардо (полноценных эмпирических исследований по нему не проводилось), указывают на то, что вместо квадратов диаметров следует рассматривать произвольные степени. Значение этой степени получило название показателя Леонардо и лежит в пределах от 1,8 до 2,3.
Итак, первая гипотеза, которая получила наименование "трубной" (1964 год) утверждает, что все дело в сосудах для транспортировки питательных веществ от корней к листьям. Мол, суммарная площадь сечений не меняется из-за, так сказать, гидромеханических соображений. Слабое место этой гипотезы заключается в том, что площадь сечения ветви по большому счету слабо связано с сосудами, проходящими через него - этот показатель меняется с возрастом дерева и для пожилых растений может составлять 0,05 от площади сечения ствола.
Вторая гипотеза (1976 год) связывала структуру с так называемым принципом упругого подобия - отклонение ветки под собственным весом должно быть пропорционально ее длине. Несмотря на довольно интересную формулировку, данный принцип лишен очень важного качества, поскольку он не дает вопрос на ответ "почему?" - в частности, почему деревья следуют этому правилу? Если упругое подобие и дает какие-то эволюционные преимущества, то они неясны. Да и не очень понятен непосредственно механизм реакции самого дерева на угол отклонения его ветки под собственной тяжестью.
Кто знает, так бы и оставалось правило Леонардо подспорьем для специалистов по компьютерной графике (оказывается, они вовсю используют его для рисования "натуральных" деревьев), если бы не Кристоф Элой из Калифорнийского университета в Сан-Диего (его статью на днях приняли к публикации в Physical Review Letters). Он обратился к идеям, которые ученые высказывали еще в XIX веке - многие особенности строения деревьев объясняются чисто механическими причинами, в частности, воздействием ветра.
Понятное дело, что просто так взять и посчитать силу действия ветра на дерево, конечно, не получится. Вместе с тем, оказывается, несмотря на всю сложность этого объекта, свести его строение к некоторому малочисленному набору численных параметров можно. В этом Элою помогли фракталы.
Фракталы и деревья
Вопреки распространенному мнению, у фракталов нет строгого математического определения - к этому классу относят объекты совершенно разной структуры и природы. Если говорить о фракталах в представлении автора термина Бенуа Мандельброта, то это объекты, обладающие некоторым самоподобием - то есть небольшая часть такого объекта, будучи увеличена, напоминает (почти в точности) исходный объект. К такого рода штукам относятся, например, капуста брокколи, береговые линии и деревья - достаточно крупная ветка, не считая листьев, вполне может при должном приближении сойти за полноценное дерево.
Для описания подобных объектов используется понятие хаусдорфовой размерности - это обобщение интуитивно очевидного понятия размерности пространства (на самом деле таких обобщений для разных математических нужд придумано довольно много). Именно эта размерность и добавляет фракталам в представлении обычного обывателя экзотичности, поскольку может принимать не только целые, но и дробные значения.
В рамках работы Элой рассматривал дерево в качестве как раз такого фрактала с условием, что из каждой точки ветвления выходит ровно N веток. При этом соотношение длин ветвей после ветвления номер k было пропорционально корню степени D из N, где D как раз и было хаусдорфовой размерностью полученного фрактала. В свою очередь, соотношение диаметров было пропорционально корню степени L из N, где L был тем самым показателем Леонардо, фигурировавшим в его законе. При таком задании дерево задается всего несколькими параметрами (помимо N) - углами наклона ветвей и несколькими параметрами, входящими в формулы.
Чтобы описать механику воздействия ветра на дерево, ученый обратился к численному моделированию воздействия на компьютере. Всего использовались две модели нагрузки на дерево. В одном случае сила прикладывалась к концам - так называемая модель балки со свободным концом. Это соответствовало случаю, когда ветер действует преимущественно на листья. Во втором случае воздействие оказывалось на сами ветки пропорционально их длине.
Затем Элой предположил, что вероятность надлома ветки не меняется со временем - то есть дерево в течение достаточно длительного времени сохраняет свои механические свойства. После этого он при помощи компьютерной модели попытался минимизировать вероятность надлома ветвей. Как оказалось, при фиксированном количестве биомассы в обеих моделях получался закон с показателями Леонардо из промежутка от 1,8 до 2,3.
По словам исследователя, новые результаты - еще одно проявление загадочного явления тигмоморфогенеза, то есть способности растений адаптировать параметры своего роста под воздействием "осязания", то есть регулярного соприкосновения растения с чем-нибудь. Именно оно ответственно за вызываемые ветром изменения.
Вместо заключения
Коллеги Элоя очень благосклонно восприняли работу исследователя. По их словам, это прекрасный пример элегантного объяснения не менее элегантного наблюдения. Кроме этого, они утверждают, что подобные исследования могут помочь в создании механических структур, которые устойчивы к воздействию ветра. Если даже объяснение окажется не совсем верным, то не очень страшно - сам факт наличия работы, в которой воедино связаны фракталы, деревья и наблюдение 400-летней давности, уже многого стоит.
Андрей Коняев
lenta.ru/articles/2011/11/16/leo/